Question

(本題滿分14分)

如圖所示，在正三棱柱ABC -A₁B₁C₁中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都是2，D是側(cè)棱CC₁上任意一點(diǎn)，E是A₁B₁的中點(diǎn)。

（I）求證：A₁B₁//平面ABD；

（II）求證：AB⊥CE；

（III）求三棱錐C-ABE的體積。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：見(jiàn)解析；（Ⅱ）見(jiàn)解析；

(Ⅲ) 。

【解析】本題給出所有棱長(zhǎng)都相等的正三棱柱，求證線面平行并求三棱錐的體積，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、線面平行的判定和柱體錐體的體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．

（I）根據(jù)三棱柱的側(cè)面ABB₁A₁是平行四邊形，得A₁B₁∥AB，再結(jié)合線面平行的判定定理，可得A₁B₁∥平面ABD；

（II）取AB中點(diǎn)F，連接EF、CF．根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證出EF⊥AB，結(jié)合正△ABC中，中線CF⊥AB，所以AB⊥平面CEF，從而可得AB⊥CE；

（III）由三棱錐E-ABC與三棱柱ABC-A₁B₁C₁同底等高，得三棱錐E-ABC的體積等于正三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積的 ，求出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積，從而得出三棱錐E-ABC的體積，即得三棱錐C-ABE的體積．

解：（Ⅰ）證明：由正三木棱住的性質(zhì)知∥AB，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111915572647266783/SYS201211191558482851984602_DA.files/image005.png">，

所以∥平面ABD.……………………………………4分

（Ⅱ）設(shè)AB中點(diǎn)為G，連結(jié)GE，GC。

又EG∥，

又

而…………………………９分

(Ⅲ)由題意可知：

………………………1４分