Question

已知P（x，y）為函數(shù)y=lnx圖象上一點，O為坐標原點．記直線OP的斜率k=f（x）．
（I）同學甲發(fā)現(xiàn)：點P從左向右運動時，f（x）不斷增大，試問：他的判斷是否正確？若正確，請說明理由：若不正確，請給出你的判斷．
（Ⅱ）求證：當x＞1時，f（x）．
（III）同學乙發(fā)現(xiàn)：總存在正實數(shù)a、b（a＜b），使a^b=b^a．試問：他的判斷是否正確？若不正確，請說明理由：若正確，請求出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）同學甲的判斷不正確．，當x∈（0，e）時，f′（x）＞0；當x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，故f（x）在（0，e]上遞增，在[e，+∞）遞減．
（Ⅱ）f（x）-=，記，，g（x）在（1，+∞）為減函數(shù)，由此能夠證明f（x）．
（III）同學乙的判斷正確．，且，，當x→∞時，f（x）→0，由此能求出求出a的取值范圍．
解答：解：（I）同學甲的判斷不正確．
依題意，f（x）=，，
當x∈（0，e）時，f′（x）＞0；當x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，e]上遞增，在[e，+∞）遞減．
（Ⅱ）f（x）-=，
記，
，
∴g（x）在（1，+∞）為減函數(shù)，
則g（x）=lnx-，
∴，即f（x）．
（III）同學乙的判斷正確．
∵，且，
又由（2），
∴當x→∞時，f（x）→0，
∴總存在正實數(shù)a，b，且1＜a＜e＜b，使得f（a）=f（b），即，∴a^b=b^a，此時1＜a＜e．
點評：本題考查導數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性中的應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地借導數(shù)性質(zhì)進行解答．