已知函數(shù),其中m,a均為實數(shù).
(1)求的極值;
(2)設(shè),若對任意的
,
恒成立,求
的最小值;
(3)設(shè),若對任意給定的
,在區(qū)間
上總存在
,使得
成立,求
的取值范圍.
(1)極大值為1,無極小值;(2)3?;(3)
.
【解析】
試題分析:(1)求的極值,就是先求出
,解方程
,此方程的解把函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間,我們再確定在每個區(qū)間里
的符號,從而得出極大值或極小值;(2)此總是首先是對不等式
恒成立的轉(zhuǎn)化,由(1)可確定
在
上是增函數(shù),同樣的方法(導數(shù)法)可確定函數(shù)
在
上也是增函數(shù),不妨設(shè)
,這樣題設(shè)絕對值不等式可變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719114774404459/SYS201411171911595413399689_DA/SYS201411171911595413399689_DA.015.png">
,整理為
,由此函數(shù)
在區(qū)間
上為減函數(shù),則
在(3,4)上恒成立,要求
的取值范圍.采取分離參數(shù)法得
恒成立,于是問題轉(zhuǎn)化為求
在
上的最大值;(3)由于
的任意性,我們可先求出
在
上的值域
,題設(shè)“在區(qū)間
上總存在
,使得
成立”,轉(zhuǎn)化為函數(shù)
在區(qū)間
上不是單調(diào)函數(shù),極值點為
(
),其次
,極小值
,最后還要證明在
上,存在
,使
,由此可求出
的范圍.
試題解析:(1),令
,得x=1. 1分
列表如下:
x | (?∞,1) | 1 | (1,∞) |
| 0 | ? | |
g(x) | ↗ | 極大值 | ↘ |
∵g(1)=1,∴y=的極大值為1,無極小值. 3分
(2)當時,
,
.
∵在
恒成立,∴
在
上為增函數(shù). 4分
設(shè),∵
>0在
恒成立,
∴在
上為增函數(shù). 5分
設(shè),則
等價于
,
即.
設(shè),則u(x)在
為減函數(shù).
∴在(3,4)上恒成立. 6分
∴恒成立.
設(shè),∵
=
,x?[3,4],
∴,∴
<0,
為減函數(shù).
∴在[3,4]上的最大值為v(3)=3?
. 8分
∴a≥3?,∴
的最小值為3?
. 9分
(3)由(1)知在
上的值域為
. 10分
∵,
,
當時,
在
為減函數(shù),不合題意. 11分
當時,
,由題意知
在
不單調(diào),
所以,即
.① 12分
此時在
上遞減,在
上遞增,
∴,即
,解得
.②
由①②,得. 13分
∵,∴
成立. 14分
下證存在,使得
≥1.
取,先證
,即證
.③
設(shè),則
在
時恒成立.
∴在
時為增函數(shù).∴
,∴③成立.
再證≥1.
∵,∴
時,命題成立.
綜上所述,的取值范圍為
. 16分
考點:導數(shù)的應(yīng)用,求單調(diào)區(qū)間,極值,求函數(shù)的值域,不等式恒成立等函數(shù)的綜合應(yīng)用.
科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年江西省上饒市高三第二次模擬考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)
在
上的最大值;
(2)令,若
在區(qū)間
上不單調(diào),求
的取值范圍;
(3)當時,函數(shù)
的圖像與x軸交于兩點
,且
,又
是
的導函數(shù),若正常數(shù)
滿足條件
.證明:
.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年江西省上饒市高三第二次模擬考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
公比為2的等比數(shù)列的各項都是正數(shù),且
則
= ( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年江蘇省高三百校聯(lián)合調(diào)研測試(一)數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
已知,則
________.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年江蘇省連云港市高三3月第二次調(diào)研考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
甲乙兩個同學進行定點投籃游戲,已知他們每一次投籃投中的概率均為,且各次投籃的結(jié)果互不影響.甲同學決定投5次,乙同學決定投中1次就停止,否則就繼續(xù)投下去,但投籃次數(shù)不超過5次.
(1)求甲同學至少有4次投中的概率;
(2)求乙同學投籃次數(shù)的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年江蘇省連云港市高三3月第二次調(diào)研考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
設(shè)函數(shù).
(1)求的最小正周期和值域;
(2)在銳角△中,角
的對邊分別為
,若
且
,
,求
和
.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年江蘇省連云港市高三3月第二次調(diào)研考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
從甲,乙,丙,丁4個人中隨機選取兩人,則甲乙兩人中有且只有一個被選取的概率為 .
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年江蘇省連云港市高三3月第二次調(diào)研考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
已知正數(shù)滿足
,則
的最小值為 .
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)查(一)理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
設(shè)等差數(shù)列的前
項和為
,若
,
,
,則正整數(shù)
= .
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