Question

已知．.

（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（2）對(duì)一切實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3) 證明對(duì)一切， 恒成立．

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）對(duì)于研究非常規(guī)的初等函數(shù)的最值問(wèn)題，往往都需要求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最值；（2）恒成立問(wèn)題，一般都需要將常數(shù)和變量分離開(kāi)來(lái)（分離常數(shù)法）轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題處理；（3）證明不等式恒成立問(wèn)題，往往將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)來(lái)證明恒成立問(wèn)題.但有些時(shí)候這樣轉(zhuǎn)化后不等會(huì)乃然很難實(shí)現(xiàn)證明，還需對(duì)不等式經(jīng)行恒等變形以達(dá)到化簡(jiǎn)不等式的目的，然后再證.

試題解析：⑴ ，當(dāng)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)，，單調(diào)遞增． 1分

（由于的取值范圍不同導(dǎo)致所處的區(qū)間函數(shù)單調(diào)性不同，故對(duì)經(jīng)行分類討論.）

① ，t無(wú)解； 2分

② ，即時(shí)， 3分

③ ，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，；

所以 5分

由題可知:,則.因?qū)τ?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720415548559023/SYS201411172042012670775784_DA/SYS201411172042012670775784_DA.024.png">,恒成立，故,

設(shè)，則.

單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.

所以，即.

問(wèn)題等價(jià)于證明(為了利用第（1）小問(wèn)結(jié)論，并考慮到作差做函數(shù)證明不方便，下證的最值與最值的關(guān)系.)

由（1）可知在的最小值是,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到.

設(shè),則,易得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到.

從而對(duì)于一切,都有恒成立.

考點(diǎn)：（1）含參量函數(shù)最值的討論；（2）含參恒成立問(wèn)題，參數(shù)取值范圍；（3）利用倒數(shù)證明不等式.