Question

已知，當(dāng)x₁、x₂∈R且x₁+x₂=1時(shí)，總有．
（1）求m的值；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足，求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）對?n∈N^*，恒成立，求k的取值范圍（其中k＞0且k≠1）．

Answer 1

【答案】分析：（1）依據(jù)題意，取得，由此能求出m的值．
（2），，由此能夠求出．
（3）由得，由此能夠求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解答：解：（1）依題意，取，
得，
即，
所以m=2．
當(dāng)m=2時(shí)，?x₁、x₂∈R，x₁+x₂=1，
有=，
所以m=2．
（2），

兩式相加，并由已知得，
所以．
（3）由，
得，
?n∈N*，，
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)成立，
所以k的取值范圍是．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，其中：（1）是恒等、定值問題；（2）是根據(jù)（1）用倒序相加求數(shù)列通項(xiàng)；（3）是分離變量并求它的取值范圍．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．