Question

在數(shù)列中，.從數(shù)列中選出項并按原順序組成的新數(shù)列記為，并稱為數(shù)列的項子列.例如數(shù)列、、、為的一個項子列.
（1）試寫出數(shù)列的一個項子列，并使其為等差數(shù)列；
（2）如果為數(shù)列的一個項子列，且為等差數(shù)列，證明：的公差滿足；
（3）如果為數(shù)列的一個項子列，且為等比數(shù)列，證明：
.

Answer 1

（1）答案不唯一.如項子列，，；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：（1）根據(jù)題中的定義寫出一個項子列即可；（2）對是否等于進行分類討論，結合條件“為等差數(shù)列”，利用公差推出矛盾，從而得到，再由結合證明；
（3）注意到數(shù)列各項均為有理數(shù)，從而得到數(shù)列的公比為正有理數(shù)，從而存在、使得，并對是否等于進行分類討論，結合等比數(shù)列求和公式進行證明.
試題解析：（1）答案不唯一.如項子列、、；
（2）由題意，知，
所以.
若，
由為的一個項子列，得，
所以.
因為，，
所以，即.
這與矛盾.
所以.
所以，
因為，，
所以，即，
綜上，得；
（3）由題意，設的公比為，
則.
因為為的一個項子列，
所以為正有理數(shù)，且，.
設，且、互質，）.
當時，
因為，
所以
，
，
所以.
當時，
因為是中的項，且、互質，
所以，
所以
.
因為，、，
所以.
綜上，.