Question

（2010•朝陽區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=lnx+

ax2

2

-(a+1)x，a∈R，且a≥0．
（Ⅰ）若f'（2）=1，求a的值；
（Ⅱ）當a=0時，求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)導數(shù)，根據(jù)f'（2）=1，即可得到a的值．
（Ⅱ）當a=0時，求函數(shù)f（x）的導數(shù)，令導數(shù)等于0，解得極值點，再借助函數(shù)在定義域上的單調性，判斷極值點處取得最大值．
（Ⅲ）求出函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)大于0，解得函數(shù)的增區(qū)間，令導數(shù)小于0，解得函數(shù)的減區(qū)間．因為函數(shù)中含有參數(shù)，注意對參數(shù)討論．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞），f′(x)=

1

x

+ax-(a+1)．
由f'（2）=1，解得a=

3

2

．
（Ⅱ）由f（x）=lnx-x，得f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

．
由f′(x)=

1-x

x

＞0，解得0＜x＜1；由f′(x)=

1-x

x

＜0，解得x＞1．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）遞增，（1，+∞）遞減．
因為x=1是f（x）在（0，+∞）上唯一一個極值點，
故當x=1時，函數(shù)f（x）取得最大值，最大值為f（1）=-1．
（Ⅲ）因為f′(x)=

1

x

+ax-(a+1)=

ax2-(a+1)x+1

x

=

(ax-1)(x-1)

x

（1）當a=0時，f′(x)=

1-x

x

．令f′(x)=

1-x

x

＞0解得0＜x＜1
（2）a＞0時，
令

(ax-1)(x-1)

x

=0，解得x=

1

a

或x=1．
（�。┊�

1

a

＞1即0＜a＜1時，
由

ax2-(a+1)x+1

x

＞0，及x＞0得 ax²-（a+1）x+1＞0，
解得0＜x＜1，或x＞

1

a

；
（ⅱ）當

1

a

=1即a=1時，
因為x＞0，f′(x)=

x2-2x+1

x

=

(x-1)2

x

≥0恒成立．
（ⅲ）當

1

a

＜1即a＞1時，由

ax2-(a+1)x+1

x

＞0，及x＞0得 ax²-（a+1）x+1＞0，
解得0＜x＜

1

a

，或x＞1；
綜上所述，
當a=0時，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（0，1）；
當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（0，1），(

1

a

，+∞)；
當a=1時，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當a＞1時，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是(0，

1

a

)，（1，+∞）．

點評：本題主要考查了導數(shù)與函數(shù)極值，最值，單調區(qū)間的關系．