Question

如圖．已知橢圓的長(zhǎng)軸為AB，過(guò)點(diǎn)B的直線l與x軸垂直，橢圓的離心率，F(xiàn)₁為橢圓的左焦點(diǎn)且=1．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，PH⊥x軸，H為垂足，延長(zhǎng)HP到點(diǎn)Q使得HP=PQ．連接AQ并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)M，N為MB的中點(diǎn)，判定直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（I）寫出A，B，F(xiàn)₁的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，的坐標(biāo)，代入=1并化簡(jiǎn)得b²=1，由，得，解出得a²，從而得橢圓方程；
（II）可根據(jù)圓心O到直線QN的距離d與圓的半徑的大小關(guān)系判斷：設(shè)P（x，y），則Q（x，2y）（x≠±2），由點(diǎn)斜式寫出直線AQ方程，與直線BM方程聯(lián)立可得M坐標(biāo)，進(jìn)而得N點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式可得直線QN方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得圓心O到直線QN的距離，與半徑a比較即可，注意點(diǎn)P坐標(biāo)滿足橢圓方程；
解答：解：（Ⅰ）易知A（-a，0），B（a，0），F(xiàn)₁（-c，0），
∴，∴a²-c²=b²=1，
又，∴，解得a²=4，
∴；
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），則Q（x，2y）（x≠±2），
∴，所以直線AQ方程，
∴，則，
∴，
又點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足橢圓方程，則，
所以 ，∴，
∴直線QN的方程：，
化簡(jiǎn)整理得到：，即xx+2yy=4，
所以點(diǎn)O到直線QN的距離，
故直線QN與AB為直徑的圓O相切．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線、橢圓方程及其位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，本題中動(dòng)點(diǎn)較多，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)應(yīng)盡量減少未知量的個(gè)數(shù)．