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19.函數(shù)fn(x)=xn+bx+c(n∈Z,b,c∈R).
(1)若n=-1,且f-1(1)=f-112)=4,試求實(shí)數(shù)b,c的值;
(2)設(shè)n=2,若對(duì)任意x1,x2∈[-1,1]有|f2(x1)-f2(x2)|≤4恒成立,求b的取值范圍;
(3)當(dāng)n=1時(shí),已知bx2+cx-a=0,設(shè)g(x)=1x41+x2,是否存在正數(shù)a,使得對(duì)于區(qū)間[255255]上的任意三個(gè)實(shí)數(shù)m,n,p,都存在以f1(g(m)),f1(g(n)),f1(g(p))為邊長(zhǎng)的三角形?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

分析 (1)由條件,可得b,c的方程,解方程可得b,c;
(2)當(dāng)n=2時(shí),f2(x)=x2+bx+c,對(duì)任意x1,x2∈[-1,1]有|f2(x1)-f2(x2)|≤4恒成立等價(jià)于f2(x)在[-1,1]上的最大值與最小值之差M≤4.討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系,判斷單調(diào)性,可得最值,解不等式即可得到所求范圍;
(3)設(shè)t=g(x)=1x41+x2=1x21+x2=21+x21,由x∈[255255],可得t∈[13,1].則y=t+at在[13,1]上恒有2ymin>ymax.討論頂點(diǎn)處x=a與區(qū)間[13,1]的關(guān)系,求得單調(diào)性,可得最值,解不等式即可得到存在,求得a的范圍.

解答 解:(1)n=-1,且f11=f112=4,
可得1+b+c=4,2+12b+c=4,解得b=2,c=1;
(2)當(dāng)n=2時(shí),f2(x)=x2+bx+c,
對(duì)任意x1,x2∈[-1,1]有|f2(x1)-f2(x2)|≤4恒成立等價(jià)于
f2(x)在[-1,1]上的最大值與最小值之差M≤4.
①當(dāng)-2<-1,即b>2時(shí),f2(x)在[-1,1]遞增,
f2(x)min=f2(-1)=1-b+c,f2(x)max=f2(1)=1+b+c,
M=2b>4(舍去);
②當(dāng)-1≤-\frac{2}≤0,即0≤b≤2時(shí),f2(x)在[-1,-2]遞減,在(-2,1]遞增,
f2(x)min=f2(-2)=c-24,f2(x)max=f2(1)=1+b+c,M=(2+1)2≤4恒成立,故0≤b≤2;
③當(dāng)0<-2≤1即-2≤b<0時(shí),f2(x)在[-1,-2]遞減,在(-2,1]遞增,
f2(x)min=f2(-\frac{2})=c-24,f2(x)max=f2(-1)=1-b+c,M=(2-1)2≤4恒成立,故-2≤b<0;
④當(dāng)-2>1,即b<-2時(shí),f2(x)在[-1,1]遞減,
f2(x)min=f2(1)=1+b+c,f2(x)max=f2(-1)=1-b+c,
M=-2b>4矛盾.
綜上可得,b的取值范圍是-2≤b≤2;
(3)設(shè)t=g(x)=1x41+x2=1x21+x2=21+x21
由x∈[255255],可得t∈[13,1].
則y=t+at在[13,1]上恒有2ymin>ymax
①當(dāng)a∈(0,19]時(shí),y=t+at在[13,1]上遞增,
ymin=13+3a,ymax=a+1,又2ymin>ymax
則a>115,即有115<a≤19;
②當(dāng)a∈(19,13]時(shí),y=t+at在[13a)遞減,(a,1)遞增,
可得ymin=2a,ymax=max{3a+13,a+1}=a+1,又2ymin>ymax
解得7-43<a<7+43,即有19<a≤13;
③當(dāng)a∈(13,1)時(shí),y=t+at在[13,a)遞減,(a,1)遞增,
可得ymin=2a,ymax=max{3a+13,a+1}=3a+13,又2ymin>ymax
解得7439<a<7+439,即有13<a<1;
④當(dāng)a∈[1,+∞)時(shí),y=t+at在[13,1]上遞減,
ymin=a+1,ymax=3a+13,又2ymin>ymax
則a<53,即有1≤a<53
綜上可得,存在這樣的三角形,a的取值范圍是115<a<53

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題和存在性問題的解法,注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,轉(zhuǎn)化為求最值,以及運(yùn)用分類討論的思想方法,注意對(duì)稱軸或頂點(diǎn)與區(qū)間的關(guān)系,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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