Question

設集合P_n={1，2，…，n}，n∈N^*，設集合A同時滿足以下三個條件：①A⊆P_n；②若x∈A，則2x∉A；
③若x∈∁ PnA，則2x∉∁ pnA．當n=4時，寫出一個滿足條件的集合A

 

；當N=9時，滿足條件的集合A的個數為

 

．

Answer 1

考點：集合的包含關系判斷及應用

專題：集合

分析：（1）由題意可得P₄={1，2，3，4}，符合條件的集合A為：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，故可求f（4）；
（2）任取偶數x∈p_n，將x除以2，若商仍為偶數，再除以2…，經過k次后，商必為奇數，此時記商為m，可知，若m∈A，則x∈A，?k為偶數；若m∉A，則x∈A?k為奇數，求出f（n）的解析式，將9代入可得答案．

解答： 解：（1）當n=4時，P₄={1，2，3，4}，
符合條件的集合A為：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，
故答案為：{2}或{1，4}或{2，3}或{1，3，4}；
（2）任取偶數x∈p_n，將x除以2，若商仍為偶數，再除以2…，經過k次后，商必為奇數，此時記商為m，
于是x=m•2^k，其中m為奇數，k∈N^*
由條件可知，若m∈A，則x∈A?k為偶數；
若m∉A，則x∈A?k為奇數；
于是x是否屬于A由m是否屬于A確定，設Q_n是P_n中所有的奇數的集合，
因此f（n）等于Q_n的子集個數，當n為偶數時（或奇數時），P_n中奇數的個數是

1

2

n（或

n+1

2

），
∴f（n）=

2 n 2 ，n為偶數 2 n+1 2 ，n為奇數

，
故當N=9時，f（9）=2⁵=32，
故答案為：32．

點評：本題主要考查了集合之間包含關系的應用，解題的關鍵是準確應用題目中的定義．