Question

已知f（x）=

3

sin

x

2

+cos

x

2

（x∈R）．
（1）求它的振幅，周期及對稱中心；
（2）求這個函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）說明該函數(shù)的圖象可由f（x）=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到？

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和公式對函數(shù)解析式進行化簡整理，進而根據(jù)三角函數(shù)圖象和性質(zhì)求得函數(shù)的振幅，周期和對稱中心．
（2）利用（1）中函數(shù)的解析式，和三角函數(shù)的圖象求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（3）根據(jù)圖象平移的原則，對函數(shù)f（x）=sinx的圖象進行平移．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin

x

2

+cos

x

2

=2（

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

）=2sin（

x

2

+

π

6

），
∴函數(shù)f（x）的振幅為2，周期T=

2π

1 2

=4π，
令

x

2

+

π

6

=kπ，x=2kπ-

π

3

，k∈Z，
故函數(shù)的對稱中心為（2kπ-

π

3

，0）（k∈Z）．
（2）當2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

時，4kπ-

4π

3

≤x≤4kπ+

2π

3

，k∈Z，
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]（k∈Z）．
（3）f（x）=sinx

向左平移 π 6 個單位

f（x）=sin（x+

π

6

）

縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍

f（x）=sin（

x

2

+

π

6

）

橫坐標不變，縱坐標擴大2倍

f（x）=2sin（

x

2

+

π

6

）．

點評：本題主要考查了三家函數(shù)恒等變換的應用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)圖象的變換．考查了學生基礎(chǔ)知識的綜合運用．