Question

在平面直角坐標系中，直線l與拋物線y²=2x相交于A，B兩點．求證：“如果直線l過（3，0），那么

OA

•

OB

=3”是真命題．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì),平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出A，B兩點的坐標根據(jù)向量的點乘運算求證即可得到：“如果直線l過（3，0），那么

OA

•

OB

=3”是真命題．

解答： 證明：設(shè)過點T（3，0）的直線l交拋物線y²=2x于點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
當直線l的鈄率不存在時，直線l的方程為x=3，
此時，直線l與拋物線相交于點A（3，

6

）、B（3，-

6

）．
∴

OA

•

OB

=3
當直線l的鈄率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-3），其中k≠0，
由

y2=2x y=k(x-3)

得ky²-2y-6k=0⇒y₁y₂=-6，
又∵x₁=

1

2

y₁²，x₂=

1

2

y₂²，
∴x₁x₂=9，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=3，
綜上所述，命題“如果直線l過點T（3，0），那么

OA

•

OB

=3”是真命題；
綜上，命題成立．

點評：本題考查了真假命題的證明，拋物線的簡單性質(zhì)，向量數(shù)量積，是拋物線與平面向量的綜合應用，難度中檔．