Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，SB⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，點E為SB的中點．
（Ⅰ）求證：AB⊥SC；
（Ⅱ）求證：SD∥平面AEC．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中SB⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，我們易得SB⊥AB，AB⊥BC，進而由線面垂直的判定定理得到AB⊥平面SBC，再由線面垂直的性質，得到AB⊥SC；
（Ⅱ）令BD∩AC=O，連接OE．結合已知中E為SB的中點，矩形的性質，根據三角形中位線定理，可得OE∥SD，再由線面平行的判定定理，即可得到答案．
解答：（I）證明：∵SB⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，
∴SB⊥AB，
又由底面ABCD為矩形，
∴AB⊥BC
又∵BC∩SB=B，BC?平面SBC，SB?平面SBC，
∴AB⊥平面SBC，
∴AB⊥SC（4分）
（II）證明：連接BD∩AC=O，連接OE．（5分）

∵在△SBD中，E為SB中點
∴OE∥SD（7分）
∵OE?平面AEC，SD?平面AEC
∴SD∥平面AEC．（8分）
點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質，熟練掌握空間直線與平面平行的判定定理，直線與平面垂直的判定定理及性質是解答本題的關鍵．