Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，且f（1）=-

a

2

，3a＞2c＞2b，求證：
（1）a＞0且-3＜

b

a

＜-

3

4

；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個零點．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由f（1）=-

a

2

，推出3a+2b+2c=0，再由3a＞2c＞2b，即可得到a＞0，b＜0，再將2c=-3a-2b代入3a＞2c＞2b，應用不等式的性質(zhì)，即可得證；
（2）求出f（0），f（2），討論c＞0，f（0），f（1）的符號，以及c≤0，f（1），f（2）的符號，應用零點存在定理，即可得證．

解答： 證明：（1）∵f（1）=a+b+c=-

a

2

，∴3a+2b+2c=0，
又3a＞2c＞2b，∴3a＞0，2b＜0，∴a＞0，b＜0，
又2c=-3a-2b  由3a＞2c＞2b∴3a＞-3a-2b＞2b，
∵a＞0，∴-3＜

b

a

＜-

3

4

；
（2）∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a-c，
①當c＞0時，∵a＞0，∴f（0）=c＞0且f（1）=-

a

2

＜0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個零點；
②當c≤0時，∵a＞0∴且f（1）=-

a

2

＜0，且f（2）=a-c＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一個零點．
綜合①②得f（x）在（0，2）內(nèi)至少有一個零點．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的零點存在定理及應用，考查邏輯推理能力，是一道綜合題．