Question

設奇函數f（x）是定義在（-∞，+∞）上的增函數，若不等式f（ax+6）+f（2-x²）＜0對?x∈[2，4]都成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用

分析：根據奇函數的性質將所給的不等式轉化為：不等式f（2-x²）＜f（-ax-6），再由單調性和題意得2-x²＜-ax-6對?x∈[2，4]都成立，分離出a構造函數y=x-

8

x

，判斷出此函數的單調性，再求出它的最小值，即可求出a的范圍．

解答： 解：∵奇函數f（x）是定義在（-∞，+∞）上的增函數，
∴不等式f（ax+6）+f（2-x²）＜0轉化為：
不等式f（2-x²）＜-f（ax+6）=f（-ax-6），
則由題意得，2-x²＜-ax-6對?x∈[2，4]都成立，
即ax＜x²-8，
又x＞0，則a＜x-

8

x

對?x∈[2，4]都成立，
∵y=x-

8

x

在[2，4]上是增函數，
∴函數y=x-

8

x

的最小值是-2，
故實數a的取值范圍是：a＜-2．

點評：本題考查函數奇偶性與單調性的結合，抽象不等式的轉化，解題的關鍵是利用函數單調性去掉不等式中的符號“f”，考查恒成立問題，學生分析解決問題的能力．