Question

已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)圍成的四邊形是正方形，且橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大值為

2

+1．
（1）求橢圓方程；
（2）過(guò)左焦點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直交橢圓于A、B點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于G點(diǎn)，求G點(diǎn)橫坐標(biāo)取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可知：b=c，c+a=

2

+1，由此能夠求出橢圓的方程．
（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），代入

x2

2

+y2=1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．由直線AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)N（x₀，y₀），x₁+x₂=

-4k2

1+2k2

，x₀=

x1+x2

2

，y₀=

y1+y2

2

，垂直平分線NG的方程為y-y₀=-

1

k

（x-x₀），由此能求出點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍．

解答： 解：（1）∵短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)圍成的四邊形是正方形，且橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大值為

2

+1，
∴b=c，c+a=

2

+1，
∴b=c=1，a=

2

，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1；
（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），
代入

x2

2

+y2=1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
∵直線AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根．
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)N（x₀，y₀），則x₁+x₂=

-4k2

1+2k2

x₀=

x1+x2

2

，y₀=

y1+y2

2

垂直平分線NG的方程為y-y₀=-

1

k

（x-x₀），
令y=0，得x_G=x₀+ky₀=-

k2

2k2+1

=-

1

2

+

1

4k2+2

∵k≠0，∴-

1

2

＜x_G＜0
∴點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為（-

1

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．