Question

（本小題滿分12分）
(1)已知函數(shù)f(x)＝2^x－x²，問方程f(x)＝0在區(qū)間[－1，0]內(nèi)是否有解，為什么？
(2)若方程ax²－x－1＝0在(0,1)內(nèi)恰有一解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

(1)　方程f(x)＝0在區(qū)間[－1,0]內(nèi)有解．(2) (2，＋∞)．

試題分析：
（1）因為第一問中，f(－1)＝2^－1－(－1)²＝－<0，
f(0)＝2⁰－0²＝1>0，結(jié)合零點存在性定理可知，結(jié)論。
（2）方程ax²－x－1＝0在(0,1)內(nèi)恰有一解，即函數(shù)f(x)＝ax²－x－1在(0,1)內(nèi)恰有一個零點，則只要滿足端點的函數(shù)值一號即可。
(1)　因為f(－1)＝2^－1－(－1)²＝－<0，
f(0)＝2⁰－0²＝1>0，
而函數(shù)f(x)＝2^x－x²的圖象是連續(xù)曲線，所以f(x)在區(qū)間[－1,0]內(nèi)有零點，即方程f(x)＝0在區(qū)間[－1,0]內(nèi)有解．
(2)∵方程ax²－x－1＝0在(0,1)內(nèi)恰有一解，即函數(shù)f(x)＝ax²－x－1在(0,1)內(nèi)恰有一個零點，
∴f(0)·f(1)<0，即－1×(a－2)<0，解得a>2.
故a的取值范圍為(2，＋∞)．
點評：解決該試題的關(guān)鍵是根據(jù)零點的概念將方程解的問題轉(zhuǎn)換為關(guān)于圖像與圖像的交點問題來處理得到結(jié)論。