Question

【題目】如果數(shù)列對任意的滿足：，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.

（1）已知數(shù)列是“數(shù)列”，設(shè)，求證：數(shù)列是遞增數(shù)列，并指出與的大小關(guān)系（不需要證明）；

（2）已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，若數(shù)列是“數(shù)列”，求的取值范圍；

（3）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的“數(shù)列”，對于取相同的正整數(shù)時(shí)，比較和的大小，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3），證明見解析.

【解析】

（1）由新定義，結(jié)合單調(diào)性的定義可得數(shù)列是遞增數(shù)列；再根據(jù)，，可得；

（2）運(yùn)用新定義和等差數(shù)列的求和公式，解絕對值不等式即可得到所求范圍；

（3）對一切，有．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，注意驗(yàn)證成立；假設(shè)不等式成立，注意變形和運(yùn)用新定義，即可得證．

（1）證明：數(shù)列是“數(shù)列”，可得，

即，即，

可得數(shù)列是遞增數(shù)列，

.

（2）數(shù)列是“數(shù)列”，

可得，

即，

可得，

即有，或，或，

即或或，

所以.

（3）數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的“數(shù)列”，

對于取相同的正整數(shù)時(shí)，，

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)時(shí)，，，顯然即．

設(shè)時(shí)，．即，

可得，

當(dāng)時(shí)，即證，

即證，

由

，

即證

即證，

由，，，，

相加可得，

則對一切，有．