Question

某花木場存放裝滿泥土的花盆，每堆最底層(第一層)擺放呈長20只，寬14只的矩形，上面各層均比它的下一層長寬各少一只．已知每只裝滿泥土的花盆的重量為2kg，為使堆放穩(wěn)定，每兩層之間放有一塊耐壓的輕質(zhì)薄板(重量忽略不計)．每只花盆的最大抗壓力為8kg，所有花盆不破碎、不變形

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（１）求第n層(自下而上，下同)擺放多少只花盆?

（２）問這堆花盆能否擺7層？如果能，求出第7層的花盆數(shù)；如果不能，說明理由，并求這堆花盆最多可擺多少只.

Answer 1

解：（１）設(shè)第n層(自下而上，下同)擺放a_n只花盆,

則a_n＝［20-(n-1)］［14-(n-1)］=n²-36n+315(1≤n≤14),

（２）如果這樣一堆花盆可以擺放7層，則第2層到笫7層的花盆總數(shù)為

S=S₇-a₁=(1²+2²+…+7²)-36(1+2+…+7)+315×7-20×14=1 337-280=1 057,

故第一層每只花盆平均受力為=7.55＜8.

由于花盆的最下層承受壓力最大，所以這堆花盆可以擺放7層，第7層花盆只數(shù)為112只.

如果這樣一堆花盆可以擺放8層，則第2層到笫8層的花盆總數(shù)為S′=S+a ₈=1 148只,

故第一層每只花盆平均受力為=8.2＞8.

所以，這堆花盆最多可擺放7層，花盆總數(shù)為1 337只.