現(xiàn)假設(shè)紅色球與黑色各有n個(gè),且互不相同.
(1)當(dāng)n=3時(shí),若將這些球放入3個(gè)不同的盒子中,每個(gè)盒子至少有一個(gè)球,則有多少種不同的放法?
(2)當(dāng)n=3時(shí),若將這些球隨機(jī)的配成3對(duì),則至少有一對(duì)球的顏色一樣的概率是多少?
(3)將這些球隨機(jī)的配成n對(duì),記Pn為至少有一對(duì)球的顏色一樣的概率,求證:Pn-Pn-1
12
 (其中n≥3 ).
分析:(1)不同的放法可以分為三類(lèi)3個(gè)盒子中分別有1個(gè)、1個(gè)、4個(gè);1個(gè)、2個(gè)、3個(gè);2個(gè)、2個(gè)、2個(gè).分別計(jì)算出各類(lèi)中的算法再相加;
(2)由題意,可用排除法計(jì)數(shù),先計(jì)算出總的基本事件數(shù),再計(jì)算出顏色都不一樣的事件的基本事件數(shù),作差即可得到顏色至少有一個(gè)一樣的事件所包含的基本事件數(shù);
(3)先求出事件“這些球隨機(jī)的配成n對(duì),記Pn為至少有一對(duì)球的顏色一樣”這個(gè)事件的概率表達(dá)式Pn,即可得到Pn-1,對(duì)此兩者作差,化簡(jiǎn)后判斷差的值取值范圍即可.
解答:解:(1)這樣的方法有以下幾種情況:
①3個(gè)盒子中分別有1個(gè)、1個(gè)、4個(gè),其方法數(shù)為C64A33=15×6=90種;…(1分)
②3個(gè)盒子中分別有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè),其方法數(shù)為C61C52C33A33=360種;…(2分)
③3個(gè)盒子中分別有2個(gè)、2個(gè)、2個(gè),其方法數(shù)為C62C42C22=90;…(3分)
共有540種.…(4分)
(2)配成3對(duì)的所有基本事件數(shù)有:
C
2
6
C
2
4
C
2
2
A
3
3
=15,
配成3對(duì),每對(duì)顏色不一樣,共有6種情況,所以至少有一對(duì)顏色一樣的有9種
所以至少有一對(duì)顏色一樣的概率為
P=
9
15
=
3
5
(8分)
(3)Pn=1-
(
A
n
n
)
2
C
2
2n
C
2
2n-2
C
2
2
=1-
2n(n!)2
(2n!)

Pn-1=1-
2n-1[(n-1)!]2
[2(n-1)]!

∴Pn-Pn-1=
2n-1[(n-1)!]2
2[(n-1)]!
×
n-1
2n-1

n-1
2n-1
=
n-1
2(n-1)+1
1
2
,又當(dāng)k∈N*,且k>1時(shí),
∴2(n-k)-[2n-(k+1)]=-k+1<0
2n-1[(n-1)!]2
2[(n-1)]!
=
2n-2
A
n-2
n-2
A
n-2
2n-3
<1
∴Pn-Pn-1
1
2
(其中n≥3 )
點(diǎn)評(píng):本題考查概率的應(yīng)用,是一個(gè)應(yīng)用題,本題中所給的事件較為復(fù)雜,而其對(duì)立面相對(duì)簡(jiǎn)單,故采用了正難則反的策略,解本題關(guān)鍵是理解所研究的事件,選擇恰當(dāng)?shù)慕嵌冉鉀Q問(wèn)題,本題考查了排除法的技巧,一般正面求解較為困難時(shí),不妨考慮研究其對(duì)立面,本題第三問(wèn)的證明有難度,運(yùn)算量大,符號(hào)多,要認(rèn)真變形,計(jì)算,熟練掌握階乘的表達(dá)式是正確計(jì)算的保證
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現(xiàn)假設(shè)紅色球與黑色各有n個(gè),且互不相同.
(1)當(dāng)n=3時(shí),若將這些球放入3個(gè)不同的盒子中,每個(gè)盒子至少有一個(gè)球,則有多少種不同的放法?
(2)當(dāng)n=3時(shí),若將這些球隨機(jī)的配成3對(duì),則至少有一對(duì)球的顏色一樣的概率是多少?
(3)將這些球隨機(jī)的配成n對(duì),記Pn為至少有一對(duì)球的顏色一樣的概率,求證:Pn-Pn-1 (其中n≥3 ).

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 現(xiàn)假設(shè)紅色球與黑色各有n個(gè),且互不相同。

(1)當(dāng)時(shí),若將這些球放入3個(gè)不同的盒子中,每個(gè)盒子至少有一個(gè)球,則有多少種不同的放法?

(2)當(dāng)時(shí),若將這些球隨機(jī)的配成3對(duì),則至少有一對(duì)球的顏色一樣的概率是多少?

(3)將這些球隨機(jī)的配成n對(duì),記為至少有一對(duì)球的顏色一樣的概率,

求證:  (其中 ).

 

 

 

 

 

 

 

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