Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC為等腰直角三角形，∠B=90°，D為棱BB1上一點，且平面DA1C⊥平面AA1C1C．
（1）求證：D點為棱BB1的中點；
（2）判斷四棱錐A1﹣B1C1CD和C﹣A1ABD的體積是否相等，并證明．

Answer 1

【答案】
（1）過點D作DE⊥A1C于E點，取AC的中點F，連BF，EF．

∵面DA1C⊥面AA1C1C且相交于A1C，面DA1C內的直線DE⊥A1C，

∴DE⊥面AA1C1C．

又∵面BAC⊥面AA1C1C且相交于AC，且△ABC為等腰三角形，易知BF⊥AC，

∴BF⊥面AA1C1C．由此知：DE∥BF，從而有D，E，F(xiàn)，B共面，又易知BB1∥面AA1C1C，

故有DB∥EF，從而有EF∥AA1，又點F是AC的中點，

所以 ，所以D點為棱BB1的中點．

（2）相等．證明：ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，

∴BB1⊥A1B1，BB1⊥BC，

又A1B1⊥B1C1，BC⊥AB，

∴A1B1⊥平面B1C1CD，BC⊥平面A1ABD（9分）

∴

∵D為BB1中點，

∴ =

【解析】分析：（1）過點D作DE⊥A1C于E點，取AC的中點F，連BF，EF，推出 ，即可證明D點為棱BB1的中點；（2）求出四棱錐A1﹣B1C1CD的底面面積和高，再計算C﹣A1ABD的體積，即可判斷體積相等．
【考點精析】掌握平面與平面垂直的性質是解答本題的根本，需要知道兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直．