已知橢圓:
的離心率為
,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè),
、
是橢圓
上關(guān)于
軸對稱的任意兩個不同的點(diǎn),連結(jié)
交橢圓
于另一點(diǎn)
,求直線
的斜率的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,證明直線與
軸相交于定點(diǎn).
⑴⑵
或
.⑶利用韋達(dá)定理及坐標(biāo)運(yùn)算即可證明
【解析】
試題分析:⑴由題意知,所以
,即
,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013072312345316756840/SYS201307231235363483700324_DA.files/image007.png">,所以
,故橢圓
的方程為
:
. 4分
⑵由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線
的方程為
①
聯(lián)立消去
得:
, 6分
由得
, 7分
又不合題意,
所以直線的斜率的取值范圍是
或
. 9分
⑶設(shè)點(diǎn),則
,直線
的方程為
令,得
,將
代入整理,得
. ② 12分
由得①代入②整理,得
,
所以直線與
軸相交于定點(diǎn)
. 14分
考點(diǎn):本題考查了橢圓及直線與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評:橢圓的概念和性質(zhì),仍將是今后命題的熱點(diǎn),定值、最值、范圍問題將有所加強(qiáng);利用直線、弦長、圓錐曲線三者的關(guān)系組成的各類試題是解析幾何中長盛不衰的主題,其中求解與相交弦有關(guān)的綜合題仍是今后命題的重點(diǎn);與其它知識的交匯(如向量、不等式)命題將是今后高考命題的一個新的重點(diǎn)、熱點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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C、
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