已知數(shù)列{bn}滿足條件:首項(xiàng)b1=1,前n項(xiàng)之和Bn=
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{an}的滿足條件:an=(1+) an-1,且a1=2,試比較an的大小,并證明你的結(jié)論.
【答案】分析:(1)由bn=Bn-Bn-1=-=3n-2,能得到數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
(2)由an=(1+)an-1,得,an=,由a1=2,bn=3n-2知,an=(1+)(1+)(1+)2=(1+1)(1+)(1+),由此入手,利用數(shù)學(xué)歸納法能夠證明an>
解答:解:(1)當(dāng)n>1時(shí),bn=Bn-Bn-1
=-=3n-2
令n=1得b1=1,
∴bn=3n-2.(5分)
(2)由an=(1+)an-1,得
∴an=
由a1=2,bn=3n-2知,
an=(1+)(1+)(1+)2
=(1+1)(1+)(1+
==,(5分)
設(shè)cn=,
當(dāng)n=1時(shí),有(1+1)=
當(dāng)n=2時(shí),有an=(1+1)(1+)=
===cn
假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)an>cn成立,
即(1+1)(1+)(1+)>成立,
則n=k+1時(shí),
左邊═(1+1)(1+)(1+)(1+
(1+)=(3分)
右邊=ck+1==
由(ak+1)3-(ck+13=(3k+1)-(3k+4)
=
=>0,得ak+1>ck+1成立.
綜合上述,an>cn對(duì)任何正整數(shù)n都成立.(3分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要注意數(shù)列遞推公式的合理運(yùn)用,合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,a3=8,前3項(xiàng)的和S3=14
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)已知數(shù)列{bn}滿足
b1
a1
+
b2
a2
+…+
bn
an
=
n
2n
(n∈N*),證明:{bn}是等差數(shù)列.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{bn}滿足b1=1,b2=5,bn+1=5bn-6bn-1(n≥2),若數(shù)列{an}滿足a1=1,an=bn(
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn-1
)(n≥2,n∈N*)

(1)求證:數(shù)列{bn+1-2bn}為等比數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求證:(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)<3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在數(shù)列{}an中,如果存在常數(shù)T(T∈N*),使得an+T=an對(duì)于任意正整數(shù)n均成立,那么就稱數(shù)列{an}為周期數(shù)列,其中T叫做數(shù)列{an]的周期.已知數(shù)列{bn}滿足bn+2=|bn+1-bn|,若b1=1,b2=a,(a≤1,a≠0)當(dāng)數(shù)列{bn}的周期為3時(shí),則數(shù)列{bn}的前2010項(xiàng)的和S2010等于( �。�

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x
1+x
.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=f(an)(n∈N+).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)已知數(shù)列{bn}滿足b1=
1
2
,bn+1=(1+bn)2f(bn)(n∈N+),求證:對(duì)一切正整數(shù)n≥1都有
1
a1+b1
+
1
2a2+b2
+…+
1
nan+bn
<2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x
1-x
(0<x<1)
的反函數(shù)為f-1(x).設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=f-1(an)(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)已知數(shù)列{bn}滿足b1=
1
2
bn+1=(1+bn)2f-1(bn)
,求證:對(duì)一切正整數(shù)n≥1都有
1
a1+b1
+
1
2a2+b2
+
+
1
nan+bn
<2

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