Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AD=AB=2BC，M是PC的中點．
（1）求證：PB⊥DM；
（2）求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值；
（3）試探究線段PB上是否存在一點Q，使得AQ∥面PCD？若存在，確定點Q的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）令BC=1，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系．利用向量法能證明PB⊥DM．
（2）求出平面PCD的法向量和平面PAB的法向量，由此能求出二面角的余弦值．
（3）假設(shè)線段PB上存在一點Q，有

PQ

=λ

PB

，（0≤λ≤1），

AQ

=

AP

+λ

PB

=（2λ，0，-2λ+2）．若AQ平行平面PCD，推導(dǎo)出λ=2，這與0≤λ≤1矛盾．從而不存在這樣的點Q，使得AQ∥平面PCD．

解答： （1）證明：不妨令BC=1，以A為坐標原點，
建立如圖所示的空間直角坐標系．
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），
D（0，2，0），P（0，0，2）
所以M（1，

1

2

，1），

DM

=（1，-

3

2

，1），

PB

=(2，0，-2)．
因為

PB

•

DM

=2-0-2=0，所以PB⊥DM．…（4分）
（2）解：設(shè)平面PCD的法向量為

n1

=（x，y，z），
由

n1 • PC =2x+y-2z=0 n1 • PD =2y-2z=0

．由z=1，得

n1

=（

1

2

，1，1）．…（6分）
而平面PAB的法向量為

n2

=

BC

=（0，1，0），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1

1× 2+ 1 4

=

2

3

．
∴所求二面角的余弦值為

2

3

．…（8分）
（3）解：假設(shè)線段PB上存在一點Q，有

PQ

=λ

PB

，（0≤λ≤1），

AQ

=

AP

+λ

PB

=（2λ，0，-2λ+2）．…（10分）
若AQ平行平面PCD，則

AQ

•

n1

=0，
即2λ•

1

2

+1•(-2λ+2)=0．
所以λ=2，這與0≤λ≤1矛盾．
故不存在這樣的點Q，使得AQ∥平面PCD．…（13分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足條件的點的是否存在的判斷與求法，解題時要注意向量法的合理運用．