在正三棱錐P―ABC中，底面正△ABC的中心為O，D是PA的中點(diǎn)，PO=AB=2，求PB與平面BDC所成角的正弦值．

解：以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．因△ABC是正三角形，故y軸平行于BC，而PO=AB=2，則

P（0，0，2），     A（，0，0），

B（－，1，0）， C（－，－1，0），

D是PA的中點(diǎn)，故D（，0，1）,=（0，－2，0），=（，－1，1）

設(shè)=（x，y，z）是平面BDC的一個(gè)法向量，   ?=0且?=0，

即：，化簡(jiǎn)得：  

取x=，則y=0，z=－2，                                     

平面BDC的一個(gè)法向量是=（，0，－2），=（－，1，－2）

cos<，>==

由于和所成的角與PB與平面BDC所成角互余，

所以PB與平面BDC所成角的正弦值為．   

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

4、在正三棱錐P-ABC中，D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，有下列四個(gè)論斷：①AC⊥PB；②A(yíng)C∥平面PDE；③AB⊥平面PDE；④平面PDE⊥平面ABC．其中正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在正三棱錐P-ABC中，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，有下列三個(gè)論斷：
①AC⊥PB；
②A(yíng)C∥平面PDE；
③AB⊥平面PDE．
其中正確論斷的個(gè)數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在正三棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)為a，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為
3
3
a
3
3
a
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在正三棱錐P-ABC中，AB=
2
，PA=
3
+1，過(guò)點(diǎn)A作截面交PB，PC分別于D，E，則截面△ADE的周長(zhǎng)的最小值是
6
+
2
6
+
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在正三棱錐P-ABC中，M、N分別是側(cè)棱PB、PC的中點(diǎn)，若截面AMN⊥側(cè)面PBC，底面邊長(zhǎng)為2，則此三棱錐的體積是（　�。�
A、
3
2
B、
5
3
C、
5
D、
15
3

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