Question

已知向量

a

=(

3

sin2x，cos2x)，

b

=(cos2x，-cos2x)
（1）若x∈(

7π

24

，

5π

12

)，

a

•

b

+

1

2

=-

3

5

，求cos4x；
（2）設△ABC的三邊a，b，c滿足b²=ac，且邊b所對應的角為x，若關于x的方程

a

•

b

+

1

2

=m有且僅有一個實數(shù)根，求m的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（I）根據(jù)向量的數(shù)量積公式與三角恒等變換公式化簡，得到

a

•

b

+

1

2

=sin(4x-

π

6

)=-

3

5

，結合同角三角函數(shù)的關系算出cos(4x-

π

6

)=-

4

5

，再進行配角4x=(4x-

π

6

)+

π

6

，利用兩角和的余弦公式即可算出cos4x的大�。�
（II）根據(jù)余弦定理與基本不等式算出cosB≥

1

2

，從而可得B∈(0，

π

3

]，即函數(shù)y=

a

•

b

+

1

2

=sin(4x-

π

6

)的定義域為(0，

π

3

]．再利用正弦函數(shù)的圖象研究y=sin(4x-

π

6

)的單調性，可得當x=

π

6

或

π

3

時，有唯一的x與y=sin(4x-

π

6

)對應，由此即可得到滿足條件的實數(shù)m的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

=(

3

sin2x，cos2x)，

b

=(cos2x，-cos2x)
∴

a

•

b

=

3

sin2xcos2x-cos22x=

3

2

sin4x-

1+cos4x

2

=

3

2

sin4x-

1

2

cos4x-

1

2

=sin(4x-

π

6

)-

1

2

又∵

a

•

b

+

1

2

=-

3

5

，
∴sin(4x-

π

6

)=-

3

5

；
由于x∈(

7π

24

，

5π

12

)，
可得4x-

π

6

∈(π，

3π

2

)，
∴cos(4x-

π

6

)=-

1-sin2(4x- π 6 )

=-

4

5

，
由此可得：cos4x=cos[(4x-

π

6

)+

π

6

]
=cos(4x-

π

6

)cos

π

6

-sin(4x-

π

6

)sin

π

6

=-

4

5

×

3

2

-(-

3

5

)×

1

2

=

3-4 3

10

；
（Ⅱ）∵b²=ac，
∴由余弦定理可得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∵B是三角形的內角，
∴B∈(0，

π

3

]，即x∈(0，

π

3

]
由（I）可得

a

•

b

+

1

2

=sin(4x-

π

6

)，
∵由x∈(0，

π

3

]，可得4x-

π

6

∈(-

π

6

，

7π

6

]，
∴sin(4x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
當x∈（0，

π

6

]時，y=sin(4x-

π

6

)為單調增函數(shù)；
當x∈（

π

6

，

π

3

]時，y=sin(4x-

π

6

)為單調減函數(shù)．
當x=

π

6

時，y=sin(4x-

π

6

)=1；
當x=

π

3

時，y=sin(4x-

π

6

)=-

1

2

，此時只有一個x與y=sin(4x-

π

6

)對應，
即直線y=m和y=sin(4x-

π

6

)有一個公共點．
∴若關于x的方程

a

•

b

+

1

2

=m有且僅有一個實數(shù)根，實數(shù)m的值為1或-

1

2

．

點評：本題以向量的數(shù)量積運算為載體，考查了三角恒等變換公式、三角函數(shù)的圖象與性質等知識，屬于中檔題．同時考查了函數(shù)與方程、數(shù)列結合與轉化化歸等數(shù)學思想，解題時要注意靈活運用所學的知識．