Question

已知曲線C₁的方程為x²-

y2

8

=1（x≥0，y≥0），圓C₂的方程為（x-3）²+y²=1，斜率為k（k＞0）的直線AB與圓C₂相切于A且交C₁于B．若|

AB

|=

3

，則k=（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  1

  3

  3

• C、

  3

• D、

  2

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用斜率為k（k＞0）直線l與圓C₂相切，即可求得直線AB的斜率．

解答： 解：由題意，圓C₂的圓心為雙曲線的右焦點(diǎn)
∵|

AB

|=

3

，圓的半徑為1
∴|BC₂|=2
設(shè)B的坐標(biāo)為（x，y），（x＞0）
∵雙曲線的右準(zhǔn)線為x=

1

3

∴

2

x- 1 3

=3
∴x=1
∴B（1，0）
設(shè)AB的方程為y=k（x-1），即kx-y-k=0
∵斜率為k（k＞0）直線l與圓C₂相切
∴

|2k|

k2+1

=1（k＞0）
解得k=

3

3

故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓與圓錐曲線的綜合，解題的關(guān)鍵是確定B的坐標(biāo)，利用直線與圓相切建立方程．