Question

設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域為D．區(qū)域D內(nèi)的動點P到直線x+y=0和直線x-y=0的距離之積為2．記點P的軌跡為曲線C．過點的直線l與曲線C交于A、B兩點．若以線段AB為直徑的圓與y軸相切，求直線l的斜率．

Answer 1

【答案】分析：由題意可知，設(shè)動點為P（x，y），則|x²-y²|=4．由P∈D，知x²-y²＜0．所以曲線C的方程為．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），以AB為直徑的圓心．以AB為直徑的圓L與y軸相切，所以半徑|AB|=x₁+x₂． 設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2）．代入雙曲線方程-=1（y＞0）得，k²（x-2）²-x²=4，由此能求出直線l的斜率．
解答：解：由題意可知，平面區(qū)域D如圖陰影所示．
設(shè)動點為P（x，y），
則，
即|x²-y²|=4．（2分）
由P∈D知x+y＞0，x-y＜0，
即x²-y²＜0．
所以y²-x²=4（y＞0），
即曲線C的方程為（4分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
以AB為直徑的圓心．
以AB為直徑的圓L與y軸相切，
所以半徑 ，
即|AB|=x₁+x₂． ①（6分）
因為直線AB過點F（2，0），
當AB⊥x軸時，不合題意．（8分）
所以設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2）．
代入雙曲線方程-=1（y＞0），
得k²（x-2）²-x²=4，
即（k²-1）x²-4k²x+（8k²-4）=0．
因為直線與雙曲線交于A，B兩點，
所以k≠±1．（10分）
所以x₁+x₂=，x₁x₂=．
所以|AB|=
=
=|x₁+x₂|
=||，
化簡得：k⁴+2k²-1=0，（12分）
解得k²=-1（k²=--1不合題意，舍去）．
由△=（4k²）²-4（k²-1）（8k²-4）=3k²-1＞0，
又由于y＞0，所以-1＜k＜-．
所以k=-．（14分）
點評：本題考查直線斜率的求法，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．