Question

如圖，制圖工程師要用兩個同中心的邊長均為4的正方形合成一個八角形圖形．由對稱性，圖中8個三角形都是全等的三角形，設(shè)∠AA₁H₁=α．
（1）試用α表示△AA₁H₁的面積；
（2）求八角形所覆蓋面積的最大值，并指出此時α的大小．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題

分析：（1）先求出AH₁，再用α表示△AA₁H₁的面積；
（2）令t=sinα+cosα∈(1，

2

]，只需考慮S△AA1H1取到最大值的情況．

解答： 解：（1）設(shè)AH₁為x，∴x+

x

sinα

+

x

tanα

=4，x=

4sinα

sinα+cosα+1

，…（3分）
S△AA1H1=

1

2

•

x2

tanα

=

8sinαcosα

(sinα+cosα+1)2

，α∈(0，

π

2

)，…（7分）
（2）令t=sinα+cosα∈(1，

2

]，…（9分）
只需考慮S△AA1H1取到最大值的情況，
即為S=

4(t2-1)

(t+1)2

=4-

8

t+1

，…（11分）
當t=

2

，即α=45°時，S△AA1H1達到最大                       …（13分）
此時八角形所覆蓋面積的最大值為64-32

2

．                  …（14分）

點評：本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查三角函數(shù)的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．