Question

定義在實數(shù)上的函數(shù)f（x）=

sinπx

1+x+x2

的最小值是

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得0＜

1

1+x+x2

≤

2 3

3

①，易知-1≤sinπx＜0②時，f（x）取得最小值，利用不等式的乘法性質(zhì)兩式相乘可得結(jié)果．

解答： 解：∵

1+x+x2

=

(x+ 1 2 )2+ 3 4

≥

3

2

，當且僅當x=-

1

2

時取等號，
∴0＜

1

1+x+x2

≤

2 3

3

①，
又-1≤sinπx≤1，則-1≤sinπx＜0時，f（x）取得最小值，
則0＜-sinπx≤1②，x=-

1

2

時取得等號，
∴不等式①②相乘可得，

sinπx

1+x+x2

≥-

2 3

3

，即函數(shù)f（x）的最小值是-

2 3

3

，
故答案為：-

2 3

3

．

點評：本題考查函數(shù)最值的求解及不等式的性質(zhì)應用，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力．