Question

在數(shù)列{an}中，a1=a(a＞2)，an+1=

a 2 n

2(an-1)

(n∈N*)
（1）求證：a_n＞2；
（2）求證：

an+1

an

＜1；
（3）若an＞3，證明：當n≥

lg 3 a

lg 3 4

時，an+1＜3．

Answer 1

分析：（1）用數(shù)學歸納法證明，當n=1時，顯然成立；假設n=k（k∈N^*）時，a_k＞2成立，再證n=k+1時成立，只需要證（a_k-2）²＞0，從而得證；
（2）由an＞2及an+1=

a 2 n

2(an-1)

，可得

an+1

an

=

an

2(an-1)

=

an

an+(an-2)

，從而可證；
（3）先證明

an+1

a

＜(

3

4

)n，再用反證法證明．

解答：證明：（1）①當n=1時，a₁=a＞2結論成立；    （1分）
②假設n=k（k∈N^*）時，a_k＞2成立

當n=k+1時，要證ak+1= a 2 k 2(ak-1) ＞2， 只要證 a 2 k -4ak+4＞0. 即證(ak-2)2＞0.

由a_k＞2知，（a_k-2）²＞0成立，所以a_k+1＞2．（4分）
由①、②知，對于n∈N^*，a_n＞2．（5分）
（2）由an＞2及an+1=

a 2 n

2(an-1)

，
得

an+1

an

=

an

2(an-1)

=

an

an+(an-2)

，

因為an-2＞0，所以an+(an-2)＞an， 所以 an an+(an-2) ＜1．故 an+1 an ＜1(n∈N*)．(8分)

（3）若an＞3，則

an+1

an

=

an

2(an-1)

=

1

2

(1+

1

an-1

)＜

1

2

(1+

1

3-1

)=

3

4

，即

an+1

an

＜

3

4

，

an

an+1

＜

3

4

，…，

a2

a1

＜

3

4

，（10分）
將上述n個式子相乘得

an+1

a1

＜(

3

4

)n，即

an+1

a

＜(

3

4

)n．（11分）
下面反證法證明：
假設an+1≥3，則

3

a

＜(

3

4

)n，即lg

3

a

＜nln

3

4

，則n＜

lg 3 a

lg 3 4

，
與已知n≥

lg 3 a

lg 3 4

矛盾．
所以假設不成立，原結論成立，
即當n≥

lg 3 a

lg 3 4

時，an+1＜3．（14分）

點評：本題主要考查利用數(shù)學歸納法證明不等式，考查分析法、反證法，綜合性強，是一道難題．