Question

利用Dandelin雙球證明當α＜β＜90°時，平面π與圓錐面的交線是橢圓．

Answer 1

答案：
解析：

證明：如下圖，在圓錐內部嵌入Dandelin雙球，一個位于平面π的上方，一個位于平面π的下方，并且與平面π及圓錐均相切． 　　當β＞α時，平面π與圓錐的交線是一個封閉曲線． 　　設兩個球與平面π的切點分別為F1、F2，與圓錐相切于圓S1、S2． 　　在截口的曲線上任取一點P，連結PF1、PF2．過P作母線交S1于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是從P到上方球的兩條切線，因此PF1＝PQ1． 　　同理，PF2＝PQ2，所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2． 　　由正圓錐的對稱性，Q1Q2的長度等于兩圓S1、S2所在平行平面間的平行于母線的線段的長度，與點P的位置無關．由此可知截口的曲線是以F1、F2為焦點的橢圓． 　　分析：利用橢圓定義：平面內到兩定點F1、F2的距離和為一個定值2a(2a＞|F1F2|)的點的軌跡是橢圓．