Question

（本題滿分15分）已知圓N：和拋物線C：，圓的切線與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，
（1）當(dāng)直線的斜率為1時，求線段AB的長；
（2）設(shè)點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于直線對稱，問是否存在直線使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：因為圓N：，
所以圓心N為（-2,0），半徑，              ………………… 1分
設(shè)，，
（1）當(dāng)直線的斜率為1時，設(shè)的方程為即
因為直線是圓N的切線，所以，解得或（舍）
此時直線的方程為，                      ………………… 3分
由 消去得，
所以，，，                ………………… 4分

所以弦長              …………………6分
（2）①設(shè)直線的方程為即（）
因為直線是圓N的切線，所以，
得    ………①           ……………… 8分
由 消去得 ，
所以即且，           
，.                     ………………… 9分
因為點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于直線對稱，所以點(diǎn)M為
所以，，        
因為，所以+    …… 10分
將A，B在直線上代入化簡得
     ……… 11分
代入，得
 
化簡得      ………②           ………… 12分
①+②得
即，解得或 
當(dāng)時，代入①解得，滿足條件且，
此時直線的方程為；
當(dāng)時，代入①整理得 ，無解.    …………… 13分
②  當(dāng)直線的斜率不存在時，
因為直線是圓N的切線，所以的方程為，
則得，，
即
由①得：
=
當(dāng)直線的斜率不存在時不成立.               ……………… 14分
綜上所述，存在滿足條件的直線，其方程為     ……………… 15分
另解：
（2）設(shè)直線的方程為即（必存在）
因為直線是圓N的切線，所以，
得    ………①           ……………… 8分
由 消去得 ，
所以即              ………………… 9分
，.                 ………………… 10分
因為點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于直線對稱，所以點(diǎn)M為
所以，，        
因為，所以+    …… 11分
將A，B在直線上代入化簡得
     ……… 12分
代入，得

化簡得      ………②          ………… 13分
①+②得
即，解得或 …… 14分
當(dāng)時，代入①解得，滿足條件；
當(dāng)時，代入①整理得 ，無解.
綜上所述，存在滿足條件的直線，其方程為     ……………… 15分

略