Question

已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4，直線l₁：y=k（x-1），若l₁與圓相交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，A（1，0）．
（1）求直線l₁的斜率k的取值范圍；
（2）求點(diǎn)M坐標(biāo)（用k表示）；
（3）已知l₁與l₂：x+2y+2=0的交點(diǎn)為N，問|AM|•|AN|是否為定值，若是，則求出定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）l₁與圓相交于P、Q兩點(diǎn)，可得

|2k-4|

k2+1

＜2，即可求出直線l₁的斜率k的取值范圍；
（2）利用直線l₁與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，求線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，直接轉(zhuǎn)化為過圓心與直線l₁垂直的中垂線方程，解兩條直線方程的交點(diǎn)即可；
（3）分別聯(lián)立相應(yīng)方程，求得M，N的坐標(biāo)，再求|AM|•|AN|．

解答： 解：（1）∵l₁與圓相交于P、Q兩點(diǎn)，
∴

|2k-4|

k2+1

＜2，
∴k＞

3

4

；
（2）直線l₁方程為y=k（x-1），
∵PQ⊥CM，∴CM方程為y-4=-

1

k

（x-3），即x+ky-3-4k=0．
與y=k（x-1），聯(lián)立，可得M點(diǎn)坐標(biāo)（

k2+4k+3

k2+1

，

4k2+2k

k2+1

）．
（3）由l₁與l₂：x+2y+2=0，聯(lián)立得N（

2k-2

2k+1

，-

3k

2k+1

）；
又M點(diǎn)坐標(biāo)（

k2+4k+3

k2+1

，

4k2+2k

k2+1

）．
∴|AM|•|AN|=

2|2k+1|

1+k2

•

1+k2

•

3 1+k2

|2k+1|

=6為定值

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．