Question

已知函數f（x）=

1

2

x²-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）求證：當x＞1時，f（x）-

2

3

x³+（a+1）lnx＜0．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）f′（x）=x-

a

x

，分情況討論：a≤0時易求單調區(qū)間；a＞0時在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）f（x）-

2

3

x³+（a+1）lnx=-

2

3

x³+

1

2

x2+lnx，設g（x）=

2

3

x³-

1

2

x2-lnx，只證g（x）＞0即可，利用導數可判斷函數g（x）的單調性，由單調性可得g（x）＞g（1）=0，得到結論；

解答： 解：（Ⅰ）依題意知函數的定義域為（0，+∞），
f′（x）=x-

a

x

，
①當a≤0時，f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞）；
②當a＞0時，f′（x）=x-

a

x

=

(x+ a )(x- a )

x

，
令f′（x）＞0，得x＞

a

，故函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（

a

，+∞）；
令f′（x）＜0，得0＜x＜

a

，故函數f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，

a

）．
（Ⅱ）f（x）-

2

3

x³+（a+1）lnx=-

2

3

x³+

1

2

x2+lnx，
設g（x）=

2

3

x³-

1

2

x2-lnx，則g′（x）=2x²-x-

1

x

，
∵當x＞1時，g′（x）=

(x-1)(2x2+x+1)

x

＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上是增函數，
∴g（x）＞g（1）=

1

6

＞0，
∴當x＞1時，f（x）-

2

3

x³+（a+1）lnx＜0．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、函數恒成立問題，考查轉化思想，恰當構造函數是解題關鍵．