Question

已知函數f（x）=mx-αlnx-m，g（x）=

ex

ex

，其中m，α均為實數．
（1）求g（x）的極值；
（2）設m=1，α＜0，若對任意的x₁，x₂∈[3，4]（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|

1

g(x2)

-

1

g(x1)

|恒成立，求a的最小值；
（3）設α=2，若對任意給定的x₀∈（0，e]，在區(qū)間（0，e]上總存在t₁、t₂（t₁≠t₂），使得f（t₁）=f（t₂）=g（x₀）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的概念及應用

分析：（1）對于第一問非常簡單，只需按求解極值的定義求解即可．
（2）在所給式子中含絕對值，一般考慮去掉絕對值，x₁，x₂是任給的兩個數，所以可考慮用函數單調性．去掉絕對值之后，注意觀察式子，你會發(fā)現，只要做適當變形，便可利用函數單調性的定義，得到一個新的函數的單調性，再結合導數求a的范圍即可．
（3）通過第三問的條件，你會得到f（x）在區(qū)間（0，e]不是單調函數的結論，并要求f（x）的值域需包含g（x）的值域便可．接下來就是看怎樣讓f（x）的值域包含g（x）的值域，即能求出m的范圍．

解答： 解：（1）g′（x）=

e(1-x)

ex

，令

e(1-x)

ex

=0，解得x=1，
∵e^x＞0，∴x∈（-∞，1）時，g′（x）＞0；x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，根據極大值的定義知：g（x）極大值是g（1）=1，無極小值．
（2）當m=1，a＜0時，f（x）=x-alnx-1，所以在[3，4]上f′（x）=

x-a

x

＞0，所以f（x）在[3，4]上是增函數．
設h（x）=

1

g(x)

=

ex

ex

，所以在[3，4]上h′（x）=

ex(x-1)

ex2

＞0，所以h（x）在[3，4]上為增函數．
設x₂＞x₁，則|f(x2)-f(x1)|＜|

1

g(x2)

-

1

g(x1)

|恒成立，變成f(x2)-f(x1)＜

1

g(x2)

-

1

g(x1)

恒成立，即：f（x₂）-f（x₁）＜h（x₂）-h（x₁）恒成立，即：f（x₂）-h（x₂）＜f（x₁）-h（x₁）．設u（x）=f（x）-h（x）=x-alnx-1-

1

e

•

ex

x

，則u（x）在[3，4]上為減函數．
∴u′（x）=1-

a

x

-

1

e

•

ex(x-1)

x2

≤0在[3，4]上恒成立．
∴a≥x-ex-1+

ex-1

x

恒成立．設v（x）=x--ex-1+

ex-1

x

，所以v′（x）=1-ex-1+

ex-1(x-1)

x2

=1-ex-1[(

1

x

-

1

2

)2+

3

4

]，因為x∈[3，4]，所以ex-1[(

1

x

-

1

2

)2+

3

4

]＞

3

4

e2，所以v′（x）＜0，所以v（x）為減函數．
∴v（x）在[3，4]上的最大值為v（3）=3-

2

3

e2．
∴a≥3-

2

3

e2，∴a的最小值為：3-

2

3

e2．
（3）由（1）知g（x）在（0，1]上單調遞增，在（1，e]單調單調遞減，又g（0）=0，g（e）=

e2

ee

，所以g（x）的值域是（0，1]．
∵f（x）=mx-2lnx-m；
∴當m=0時，f（x）=-2lnx，在（0，e]為減函數，由題意知，f（x）在（0，e]不是單調函數；故m=0不合題意；
當m≠0時，f′（x）=

m(x- 2 m )

x

，由于f（x）在（0，e]上不單調，所以0＜

2

m

＜e，即m＞

2

e

；①
此時f（x）在（0，

2

m

）遞減，在（

2

m

，e]遞增；
∴f（e）≥1，即me-2-m≥1，解得m≥

3

e-1

；②
所以由①②，得m≥

3

e-1

；
∵1∈（0，e]，∴f（

2

m

）≤f（1）=0滿足條件．
下證存在t∈（0，

2

m

]使得f（t）≥1；
取t=e^-m，先證e-m＜

2

m

，即證2e^m-m＞0；③
設w（x）=2e^x-x，則w′（x）=2e^x-1＞0在[

3

e-1

，+∞）時恒成立；
∴w（x）在[

3

e-1

，+∞）上遞增，∴w（x）≥w(

3

e-1

)＞0，所以③成立；
再證f（e^-m）≥1；
∵f(e-m)=me-m+m＞m≥

3

e-1

＞1，∴m≥

3

e-1

時，命題成立．
所以m的取值范圍是：[

3

e-1

，+∞）．

點評：本題用到的知識點有：1．極值的定義．
2．用倒數求函數單調區(qū)間，判斷單調性的方法．
3．單調函數定義的運用．
4．會對式子做適當變形，從而解決問題．