Question

已知函數f（x）=

ex+1

ex-1

（1）求f（x）的定義域
（2）判斷函數f（x）的奇偶性
（3）證明：當x＞0時，f（x）＞1．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（1）求f（x）的定義域可令分母e^x-1≠0求解即可；
（2）討論f（x）的奇偶性并證明，本函數是一個奇函數，由定義法證明即可；
（3）化簡f（x）的表達式，利用指數函數在（0，+∞）的單調性與值域，即可證明結果．

解答： 解：（1）令分母2^x-1≠0解得x≠0，故定義域為{x|x≠0}
函數的解析式可以變?yōu)閒（x）=1+

2

ex-1

，由于e^x-1≠0，故x≠0．
∴f（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）函數是一個奇函數，證明如下
f（-x）=

e-x+1

e-x-1

=

ex+1

1-ex

=-

ex+1

ex-1

=-f（x），故是一個奇函數．
（3）由于f（x）=1+

2

ex-1

，在（0，+∞）上，e^x-1遞增且函數值大于0，

2

ex-1

＞0，在（0，+∞）上恒成立，故當x＞0時，f（x）＞1．

點評：本題考查函數單調性的、奇偶性的判斷與證明以及函數的定義域的求法，求解此類題的關鍵是對函數性質的證明方法了然于胸，熟知其各種判斷證明方法．