Question

設f（x）是定義在R上周期為2的偶函數(shù)，已知x∈[2，3]時，f（x）=x²-2x．
（1）求x∈[-1，1]時f（x）的解析式；
（2）若f（x）=mx在區(qū)間[2k-1，2k+1]（k∈N^*）上有兩解，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)周期性，奇偶性得出：f（x）=x²+2x，x∈[0，1]，f（x）=x²-2x，x∈[-1，0]，即可得出解析式．
（2）先考慮特殊區(qū)間，運用函數(shù)的圖象判斷，再推廣即可．

解答： 解：（1）設0≤x≤1，在x+2∈[2，3]，
∵x∈[2，3]時，f（x）=x²-2x．
∴f（x）=f（x+2）=（x+2）²-2（x+2），
∴f（x）=x²+2x，x∈[0，1]
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
∴當x∈[-1，0]時，-x∈[0，1]，
∴f（x）=f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x，x∈[-1，0]，
∴f（x）=

x2-2x，x∈[-1，0] x2+2x，x∈[0，1]

（2）根據(jù)函數(shù)圖象：f（x）=mx在區(qū)間[2k-1，2k+1]（k∈N^*）上有兩解，
∴過（3，-1），m=-

1

3

；過（5，-1），m=-

1

5

，
∴m的取值范圍為[-

1

3

，-

1

5

）
推廣可得：m的取值范圍為[-

1

2k+1

，-

1

2k+3

）（k∈N^*）

點評：本考查了運用函數(shù)的性質(zhì)求解析式，運用你函數(shù)的圖象得出范圍，屬于難度較大的題目．