Question

如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為1百米的正方形區(qū)域，現(xiàn)規(guī)劃建造一塊景觀帶△ECF，其中動(dòng)點(diǎn)E、F分別在CD、BC上，且△ECF的周長(zhǎng)為常數(shù)a（單位：百米）．
（1）求景觀帶面積的最大值；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，請(qǐng)計(jì)算出從A點(diǎn)欣賞此景觀帶的視角（即∠EAF）．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（1）設(shè)EC=x，CF=y，則x+y+

x2+y2

=a，利用基本不等式，結(jié)合△ECF的面積S=

1

2

xy，即可求出景觀帶面積的最大值；
（2）記∠EAD=α，∠FAB=β，α，β∈（0，

π

2

），α+β∈（0，

π

2

），利用和角的正切公式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)EC=x，CF=y，則x+y+

x2+y2

=a（※）
由基本不等式，x+y+

x2+y2

≥2

xy

+

2xy

=（2+

2

）

xy

，
所以，△ECF的面積S=

1

2

xy≤

1

2

(

a

2+ 2

)2=

3-2 2

4

a2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

2- 2

2

a時(shí)等號(hào)成立
故景觀帶面積的最大值為

3-2 2

4

a2，
（2）記∠EAD=α，∠FAB=β，α，β∈（0，

π

2

），α+β∈（0，

π

2

），
則tanα=1-x，tanβ=1-y，
故tan（α+β）=

2-x-y

1-(1-x)(1-y)

=

2-(x+y)

x+y-xy

由（※）可得，xy=a（x+y）-

a2

2

，即xy=2（x+y）-2，
代入上式可得，tan（α+β）=1，
所以α+β=

π

4

，
所以∠EAF=

π

2

-（α+β）=

π

4

，
故當(dāng)a=2時(shí)，視角∠EAF為定值

π

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查和角公式的運(yùn)用，考查面積的最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．