Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

ex， x≤0 lnx， x＞0

，若對(duì)任意給定的a∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，滿足f（f（x））=ma²+2m²a，則正實(shí)數(shù)m的最小值是（　�。�

• A、

  1

  2

• B、1
• C、

  3

  2

• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：討論x的取值，求出f（（x））：0＜x≤1時(shí)，f（f（x））=x≤1，x＞1時(shí)，f（f（x））=ln（lnx）∈R，則要滿足對(duì)任意給定的a∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，滿足f（f（x））=ma²+2m²a，需要ma²+2m²a＞1，因?yàn)閍＞1，所以只需m+2m²≥1，解該不等式即可得m的最小值．

解答： 解：由已知條件知：ma²+2m²a＞0；
∴若x≤0，則f（x）=e^x＞0，∴f（f（x））=lne^x=x≤0，∴這種情況不存在；
若0＜x≤1，則f（x）=lnx≤0，∴f（f（x））=e^lnx=x≤1，x＞1時(shí)，f（x）=lnx＞0，f（f（x）=ln（lnx）∈R；
∴只有f（f（x））＞1，即ma²+2m²a＞1時(shí)，對(duì)任意給定的a∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，滿足f（f（x））=ma²+2m²a；
∵a∈（1，+∞），∴m+2m²≥1，即2m²+m-1≥0，∵m＞0，∴解得m≥

1

2

；
∴正實(shí)數(shù)m的最小值是

1

2

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：考查根據(jù)分段函數(shù)求在某一區(qū)間上的函數(shù)解析式及復(fù)合函數(shù)解析式，解一元二次不等式．