Question

設(shè)在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=90°，E，F(xiàn)依次為C₁C，BC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線A₁B、EF所成角θ的大小（用反三角函數(shù)值表示）；
（2）求點(diǎn)B₁到平面AEF的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接C₁B，因?yàn)镃₁B∥EF，異面直線A₁B、EF所成角與C₁B、A₁B所成角相等．
（2）利用平面AEF的一個(gè)法向量，建立空間坐標(biāo)系，求出求點(diǎn)B₁到平面AEF的距離．
解答：解：以A為原點(diǎn)建立如圖空間坐標(biāo)系，
則各點(diǎn)坐標(biāo)為A₁（0，0，2），B（2，0，0），B₁（2，0，2），E（0，2，1），F(xiàn)（1，1，0）（2分）
（1），，

∴（6分）
（2）設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為，
∵，
由得令a=1可得（10分）
∵，∴（13分）
∴點(diǎn)B₁到平面AEF的距離為．（14分）
點(diǎn)評：此題主要考查異面直線的角度及余弦值計(jì)算．