Question

下列結(jié)論：①a=1是函數(shù)y=3sin（2ax+1）+2的周期為π的充要條件；②若“存在x₀∈R，使得ax₀²+（a-3）x₀+1≤0”是假命題，則1＜a＜9；③某人向一個(gè)圓內(nèi)投鏢，則鏢扎到該圓的內(nèi)接正三角形區(qū)域內(nèi)的概率為

3 3

4π

．其中正確的是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：①利用正弦函數(shù)的周期公式計(jì)算即可求得a的值；
②依題意知，?x∈R，使得ax²+（a-3）x+1＞0恒成立，從而由

a＞0 △=(a-3)2-4a＜0

可求a的取值范圍；
③利用幾何概型的概率公式可得答案．

解答： 解：①∵y=3sin（2ax+1）+2的周期為π，故

2π

2|a|

=π，解得a=±1，故①錯(cuò)誤；
②若“存在x₀∈R，使得ax₀²+（a-3）x₀+1≤0”是假命題，
則?x∈R，使得ax²+（a-3）x+1＞0恒成立，
所以，

a＞0 △=(a-3)2-4a＜0

，解得1＜a＜9，故②正確；
③設(shè)該圓的半徑為r=1，則2r=2，其內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為2×sin60°=

3

，
因?yàn)樵搱A的面積S=π，其內(nèi)接正三角形的面積S′=

1

2

×(

3

)2×

3

2

=

3 3

4

，
由幾何概型的概率公式可得：鏢扎到該圓的內(nèi)接正三角形區(qū)域內(nèi)的概率P=

3 3

4π

，故③正確．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查正弦函數(shù)的周期性、特稱(chēng)命題與全稱(chēng)命題之間的關(guān)系，考查幾何概型的概率公式，屬于中檔題．