Question

已知函數(shù)f（x）=

ex-ex+x-1

x2-x

（0＜x＜1），當x∈（0，1）時，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：函數(shù)f（x）可化為f（x）=

ex-1 x -(e-1)

x-1

可看作兩點A（1，e-1），B（x，

ex-1

x

）的斜率．由于0＜x＜1，則令g（x）=

ex-1

x

，求出g（x）的導數(shù)，判斷導數(shù)符號，確定單調(diào)性，進而求出g（x）的值域，再由兩點的斜率公式即可得到f（x）的值域．

解答： 解：∵f（x）=

ex-ex+x-1

x2-x

（0＜x＜1）
∴f（x）=

ex-1 x -(e-1)

x-1

可看作兩點A（1，e-1），B（x，

ex-1

x

）的斜率．
由于0＜x＜1，則令g（x）=

ex-1

x

，g′（x）=

ex•x-(ex-1)

x2

，
令h（x）=e^x•x-e^x+1，h′（x）=e^x•x＞0，h（x）遞增，
h（x）＞1，g′（x）＞0，g（x）遞增．
由于e^x-x-1的導數(shù)為e^x-1，x＞0遞增，x＜0遞減，則e^x≥x+1，
當x→0時，g（x）→1，
則有1＜g（x）＜e-1，
由（0，1）和（1，e-1）的斜率為e-2，
再由g（x）在x=1處的切線的斜率為e-（e-1）=1，
則f（x）的值域為（e-2，1）．

點評：本題考查函數(shù)的值域的求法，考查函數(shù)的導數(shù)的運用：求切線斜率和求單調(diào)區(qū)間、最值，考查兩點的斜率公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．