在正方體ABCD—A1B1C1D1中,M、N、P分別是CC1、B1C1、C1D1的中點

(1)

求證:AP⊥面D1MN

(2)

求D1C1與平面D1MN所成角的正切值

答案:
解析:

(1)

  如圖所示

  連結A1P、DP

  正方形A1B1C1D1中,P、N分別為C1D1、B1C1中點

  ∴A1P⊥D1N

  由三垂線定理知D1N⊥AP

  同理可證 D1M⊥AP

  ∴AP⊥面D1MN

(2)

  連結D1A,設AP與平面D1MN交點為H,連結D1H

  ∵AP⊥平面D1MN

  ∴AP⊥D1H

  又 AD1⊥D1P,

  ∵∠PD1H=∠D1AP

  又 PH⊥面D1MN,

  ∴∠PD1H為D1C1與面D1MN所成的角

  在Rt△AD1P中,tan∠D1AP=

  ∴tan∠PD1H=


練習冊系列答案
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16、在正方體ABCD-A′B′C′D′中,過對角線BD′的一個平面交AA′于E,交CC′于F,則
①四邊形BFD′E一定是平行四邊形;
②四邊形BFD′E有可能是正方形;
③四邊形BFD′E在底面ABCD內的投影一定是正方形;
④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.
以上結論正確的為
①③④
.(寫出所有正確結論的編號)

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45°
45°

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①四邊形BFD′E一定是平行四邊形;
②四邊形BFD′E有可能是正方形;
③四邊形BFD′E有可能是菱形;
④四邊形BFD′E有可能垂直于平面BB′D.
其中所有正確結論的序號是
 

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