Question

(經(jīng)典回放)若a³＋b³＝2，求證：a＋b≤2．

Answer 1

答案：
解析：

證法一：假設(shè)a＋b＞2，a2－ab＋b2＝(ab)2＋b2≥0． 　　而取等號的條件為a＝b＝0，顯然不可能，∴a2－ab＋b2＞0．則a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＞2(a2－ab＋b2)，而a3＋b3＝2，故a2－ab＋b2＜1． 　　∴1＋ab＞a2＋b2≥2ab．從而ab＜1． 　　∴a2＋b2＜1＋ab＜2． 　　∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＜2＋2ab＜4． 　　∴a＋b＜2． 　　這與假設(shè)矛盾，故a＋b≤2． 　　證法二：假設(shè)a＋b＞2，則a＞2－b，故2＝a3＋b3＞(2－b)3＋b3，即2＞8－12b＋6b2，即(b－1)2＜0，這不可能，從而a＋b≤2． 　　證法三：假設(shè)a＋b＞2，則(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)＞8． 　　由a3＋b3＝2，得3ab(a＋b)＞6．故ab(a＋b)＞2． 　　又a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2， 　　∴ab(a＋b)＞(a＋b)(a2－ab＋b2)． 　　∴a2－ab＋b2＜ab，即(a－b)2＜0． 　　這不可能，故a＋b≤2． 　　思路分析：本題結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體，更簡潔，宜用反證法．

提示：

本題三種方法均采用反證法，有的推至與假設(shè)矛盾，有的推至與已知事實矛盾．一般說來，結(jié)論的語氣過于肯定或肯定“過頭”時，都可以考慮用反證法． 　　再是本題的已知條件非常少，為了增加可利用的條件，從反證法的角度來說，“假設(shè)”也是已知條件，因而，可考慮反證法．