Question

1．若$x\;{（1-mx）^{\;4}}={a_1}\;x+{a_2}\;{x^2}+{a_3}\;{x^3}+{a_4}\;{x^4}+{a_5}\;{x^5}$，其中a₂=-6，則實(shí)數(shù)m=$\frac{3}{2}$；a₁+a₃+a₅=$\frac{313}{16}$．

Answer 1

分析 $x\;{（1-mx）^{\;4}}={a_1}\;x+{a_2}\;{x^2}+{a_3}\;{x^3}+{a_4}\;{x^4}+{a_5}\;{x^5}$，則x（1-mx）⁴=x$（1-4mx+{∁}_{4}^{2}{m}^{2}{x}^{2}+…）$，可得-4m=a₂=-6，解得m=$\frac{3}{2}$，對(duì)$x\;{（1-mx）^{\;4}}={a_1}\;x+{a_2}\;{x^2}+{a_3}\;{x^3}+{a_4}\;{x^4}+{a_5}\;{x^5}$，分別令x=1時(shí)，x=-1時(shí)，即可得出．

解答 解：$x\;{（1-mx）^{\;4}}={a_1}\;x+{a_2}\;{x^2}+{a_3}\;{x^3}+{a_4}\;{x^4}+{a_5}\;{x^5}$，
則x（1-mx）⁴=x$（1-4mx+{∁}_{4}^{2}{m}^{2}{x}^{2}+…）$，則-4m=a₂=-6，解得m=$\frac{3}{2}$．
對(duì)：$x\;{（1-mx）^{\;4}}={a_1}\;x+{a_2}\;{x^2}+{a_3}\;{x^3}+{a_4}\;{x^4}+{a_5}\;{x^5}$，
令x=1時(shí)，$（1-\frac{3}{2}）^{4}$=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，
x=-1時(shí)，-$（1+\frac{3}{2}）^{4}$=-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅，
∴2（a₁+a₃+a₅）=$（\frac{1}{2}）^{4}$+$（\frac{5}{2}）^{4}$，
解得a₁+a₃+a₅=$\frac{313}{16}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$，$\frac{313}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的性質(zhì)、方程思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．