Question

【題目】2019年，中國的國內生產總值（GDP）已經達到100億元人民幣，位居世界第二，這其中實體經濟的貢獻功不可沒，實體經濟組織一般按照市場化原則運行，某生產企業(yè)一種產品的成本由原料成本及非原料成本組成，每件產品的非原料成本（元）與生產該產品的數(shù)量（千件）有關，經統(tǒng)計得到如下數(shù)據：

根據以上數(shù)據繪制了如下的散點圖

現(xiàn)考慮用反比例函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型分別對兩個變量關系進行擬合，為此變換如下：令，則，即與也滿足線性關系，令，則，即也滿足線線關系，這樣就可以使用最小二乘法求得非線性回歸方程，已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為與的相關系數(shù)，其他參考數(shù)據如下（其中）

（1）求指數(shù)函數(shù)模型和反比例函數(shù)模型中關于的回歸方程；

（2）試計算與的相關系數(shù)，并用相關系數(shù)判斷：選擇反比例函數(shù)和指數(shù)函數(shù)兩個模型中哪一個擬合效果更好（精確到0.01）？

（3）根據（2）小題的選擇結果，該企業(yè)采用訂單生產模式（即根據訂單數(shù)量進行生產，產品全部售出），根據市場調研數(shù)據，該產品定價為100元時得到簽到訂單的情況如下表：

訂單數(shù)（千件）	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
概率

已知每件產品的原來成本為10元，試估算企業(yè)的利潤是多少？（精確到1千元）

參考公式：對于一組數(shù)據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別是：相關系數(shù)：

Answer 1

【答案】（1）指數(shù)模型回歸方程為，反比例函數(shù)回歸方程為；（2）反比例函數(shù)；（3）612（千元）

【解析】

（1）對兩邊取對數(shù)，可得，即，再把代入，可求得，然后令，則，結合參考公式即可求得，，從而求得回歸方程；

（2）利用參考公式求出相關系數(shù)，再與（1）中的相比較，即可得解；

（3）設該企業(yè)的訂單期望為（千件），先利用錯位相減法求出的值，再算出企業(yè)的利潤．

解：（1）因為，所以，，將代入上式，得，所以.

令，則，因為，所以，

則，

所以， 所以y關于x的回歸方程為.

綜上，指數(shù)模型回歸方程為，反比例函數(shù)回歸方程為；

（2）y與的相關系數(shù)為，

因為，所以用反比例函數(shù)模型擬合效果更好.

（3）設該企業(yè)的訂單期望為S（千件），

則

令 ①

②

②-①，得

化簡得，所以

所以該企業(yè)的利潤約為：（千元）