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已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個焦點在拋物線的準線上，點是雙曲線右支上相異兩點，且滿足為線段的中點，直線的斜率為
（1）求雙曲線的方程；
（2）用表示點的坐標；
（3）若，的中垂線交軸于點，直線交軸于點，求的面積的取值范圍．

（1）；（2）；（3）

解析試題分析：（1）求雙曲線的標準方程只需找到兩個關于的兩個等式，通過解方程即可得到的值，從而得到雙曲線方程.
（2）由直線AB的方程與雙曲線方程聯立，消去y可得關于x的一個一元二次方程，判別式必須滿足大于零，再由韋達定理可表示出點D的坐標，又根據即可用k表示點D的縱坐標.從而可求出點D的坐標.
（3）的中垂線交軸于點，直線交軸于點求的面積.通過直線AB可以求出點N的坐標，又由線段AB的中垂線及中點D的坐標，可以寫出中垂線的方程，再令y=0，即可求出點M.以MN長為底邊，高為點D的縱坐標，即可求出面積的表達式.再用最值的求法可得結論.
試題解析：（1）
雙曲線的方程為；
（2）方法一：
設直線的方程為代入方程得
 當時記兩個實數根為
則 
∴的方程為把代入得

下求的取值范圍：法一：由得即
而所以化簡得
法二：在中令得
即所以
再結合 得 ；
方法二：兩式相減得

（3）由（2）可知方程中令得
設點的坐標為由得

∴
 
考點：1.雙曲線的性質.2.直線與雙曲線的位置關系.3.三角形的面積的求法.4.最值的求法.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率為，以坐標原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切．

(1)求橢圓C的方程；
(2)已知點P(0,1)，Q(0,2)，設M，N是橢圓C上關于y軸對稱的不同兩點，直線PM與QN相交于點T.求證：點T在橢圓C上．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知A，B，C是橢圓W：＋y2＝1上的三個點，O是坐標原點．
(1)當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；
(2)當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

己知橢圓C：（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），點A（2，0）在橢圓C上，過F點的直線與橢圓C交于不同兩點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線斜率為1，求線段的長；
（3）設線段的垂直平分線交軸于點P（0，y0），求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知點、為雙曲線：的左、右焦點，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點，且．圓的方程是．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過雙曲線上任意一點作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為、，求的值；
（3）過圓上任意一點作圓的切線交雙曲線于、兩點，中點為，求證：．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C1：＝1，橢圓C2以C1的短軸為長軸，且與C1有相同的離心率．
(1)求橢圓C2的方程；
(2)設直線l與橢圓C2相交于不同的兩點A、B，已知A點的坐標為(－2,0)，點Q(0，y0)在線段AB的垂直平分線上，且＝4，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知F1，F2分別為橢圓C1：＝1(a>b>0)的上下焦點，其中F1是拋物線C2：x2＝4y的焦點，點M是C1與C2在第二象限的交點，且|MF1|＝.

(1)試求橢圓C1的方程；
(2)與圓x2＋(y＋1)2＝1相切的直線l：y＝k(x＋t)(t≠0)交橢圓于A，B兩點，若橢圓上一點P滿足，求實數λ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，左右焦點分別為，且.
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點的直線與橢圓相交于兩點，且，求的面積.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的頂在坐標原點，焦點到直線的距離是
（1）求拋物線的方程；
（2）若直線與拋物線交于兩點，設線段的中垂線與軸交于點 ，求的取值范圍.

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