Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面為等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=2，E，F(xiàn)分別是BC、AA₁的中點．
求：（1）異面直線EF和A₁B所成的角．
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

解：（1）方法一：取AB的中點D，連DE、DF，則DF∥A₁B，
∴∠DFE（或其補角）即為所求．…（3分）

由題意易知，，DE=1，
由DE⊥AB、DE⊥A A₁得DE⊥平面ABB₁A₁
∴DE⊥DF，即△EDF為直角三角形，…（3分）
∴
∴∠DFE=30°…（3分）
即異面直線EF和A₁B所成的角為30⁰． …（1分）
方法二：


以A為坐標原點以AB、AC、AA₁所在直線分別x軸、y軸、
Z軸建立如圖所示的直角坐標系，…（1分）
則A₁ （o，o，2） B （2，0，0）
∵E、F分別是BC、AA₁中點
∴E（1，1，0）F（0，0，） …（4分）
∴，
設的夾角為θ
∴cosθ=
∵0≤θ≤π
∴…（4分）
∴異面直線EF和A₁B所成的角為…（1分）
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積
…（4分）
分析：（1）方法一：取AB的中點D，連DE、DF，則DF∥A₁B，∠DFE（或其補角）即為所求由此能求出異面直線EF和A₁B所成的角的大小．
方法二：以A為坐標原點以AB、AC、AA₁所在直線分別x軸、y軸、Z軸建立直角坐標系，用向量法求異面直線EF和A₁B所成的角的大�。�
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．
點評：本題考查兩條異面直線所成角的大小的求法和直直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積的計算，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．