Question

如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱底面，是的中點(diǎn)．

（I）證明：//平面；   

（II）求二面角的平面角的余弦值；

Answer 1

解：法一：（I）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，

設(shè) 是平面BDE的一個(gè)法向量，

則由  ，得

取，得．  

∵，  

（II）由（Ⅰ）知是平面BDE的一個(gè)法向量，又是平面的一個(gè)法向量．                               

設(shè)二面角的平面角為，由圖可知

∴．

故二面角的余弦值為． 

法二：（I）連接，交于，連接．在中，為中位線，

,//平面．

（II）⊥底面, 平面⊥底面，為交線,⊥

平面⊥平面，為交線, =，是的中點(diǎn)⊥

⊥平面， ⊥ 即為二面角的平面角．

設(shè)，在中,

故二面角的余弦值為．